Bogdan Mielnik

Clásico Método de Factorización.

El método de factorización en su forma más clásica, se utilizó por primera vez para determinar el espectro del hamiltoniano del oscilador armónico en una dimensión.

$$H=-\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{1}{2}x^2$$

El método consistía en la introducción de los operadores de la "creación" y "aniquilación"

$$a=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{d}{dx}+x)=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{-x^2}{2}}\frac{d}{dx}e^{\frac{x^2}{2}}$$

$$a^\ast=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\frac{d}{dx}+x)=-\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{x^2}{2}}\frac{d}{dx}e^{\frac{-x^2}{2}}$$

Con las siguientes propiedades:
$$\begin{array}{cl}a^*a=H-\frac{1}{2}\\
aa^*=H+\frac{1}{2}\end{array}\righ\ [a,a^*]=1$$

Efectuando el cálculo de $$a^*a$$ obtenemos lo siguiente:

$$a^*a= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\frac{d}{dx}+x)( \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{d}{dx}+x) $$

$$a^*a=-\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x\frac{d}{dx}+\frac{1}{2}x^2$$

$$a^*a=(H-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}x\frac{d}{dx}$$

donde $$\frac{1}{2}x\frac{d}{dx}$$ es un término el cuál no aparece en las propiedades dadas arriba, análogamente:

$$aa^*= ( \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{d}{dx}+x)\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\frac{d}{dx}+x)$$

$$aa^*=-\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x\frac{d}{dx}+\frac{1}{2}x^2$$

$$aa^*=(H+\frac{1}{2})-\frac{1}{2}x\frac{d}{dx}$$

donde $$-\frac{1}{2}x\frac{d}{dx}$$ es un término el cuál no aparece en las propiedades dadas arriba.

Y es aquí donde mis cuentas no me dieron lo mismo a lo escrito en el articulo de Bogdan Mielnik, seguramente sera por algo.