Bogdan Mielnik

Clásico Método de Factorización.

El método de factorización en su forma más clásica, se utilizó por primera vez para determinar el espectro del hamiltoniano del oscilador armónico en una dimensión.

$$H=-\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{1}{2}x^2$$

El método consistía en la introducción de los operadores de la "creación" y "aniquilación"

$$a=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{d}{dx}+x)=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{-x^2}{2}}\frac{d}{dx}e^{\frac{x^2}{2}}$$

$$a^\ast=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\frac{d}{dx}+x)=-\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{x^2}{2}}\frac{d}{dx}e^{\frac{-x^2}{2}}$$

Con las siguientes propiedades:
$$\begin{array}{cl}a^*a=H-\frac{1}{2}\\
aa^*=H+\frac{1}{2}\end{array}\righ\ [a,a^*]=1$$

Efectuando el cálculo de $$a^*a$$ obtenemos lo siguiente:

$$a^*a= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\frac{d}{dx}+x)( \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{d}{dx}+x) $$

$$a^*a=-\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x\frac{d}{dx}+\frac{1}{2}x^2$$

$$a^*a=(H-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}x\frac{d}{dx}$$

donde $$\frac{1}{2}x\frac{d}{dx}$$ es un término el cuál no aparece en las propiedades dadas arriba, análogamente:

$$aa^*= ( \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{d}{dx}+x)\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\frac{d}{dx}+x)$$

$$aa^*=-\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x\frac{d}{dx}+\frac{1}{2}x^2$$

$$aa^*=(H+\frac{1}{2})-\frac{1}{2}x\frac{d}{dx}$$

donde $$-\frac{1}{2}x\frac{d}{dx}$$ es un término el cuál no aparece en las propiedades dadas arriba.

Y es aquí donde mis cuentas no me dieron lo mismo a lo escrito en el articulo de Bogdan Mielnik, seguramente sera por algo.

Ecuaciones en Blogger

Esto es lo que tiene escrito el java script, espero sea útil para escribir ecuaciones en blogger, la página aún no la encuentro.

Ejercicios de las leyes de Newton 1

Para resolver los problemas en adelante planteados, seguiremos la estrategia de solución que corresponde al de primeramente el de conocer los datos, después el de usar la fórmula correspondiente seguido de la sustitución de los datos en la fórmula correspondiente para finalizar con el resultado. Así pues empezaremos con los primeros ejercicios.

1.- Si un bloque de $$1kg$$ experimenta una aceleración de $$4\frac{m}{s^2}$$ cuando actúa sobre él una fuerza determinada, calcula la masa de un baúl que experimenta una aceleración de $$0.25\frac{m}{s^2}$$ cuando actúa sobre él la misma fuerza.

Solución:

Datos:

$$m_2=1kg$$

$$m_1=x$$

$$a_2=4\frac{m}{s^2}$$

$$1_1=0.25\frac{m}{s^2}$$

Fórmula:

$$\frac{m_1}{m_2}=\frac{a_2}{a_1}$$

Sustitución:

$$\frac{m_1}{1kg}=\frac{4\frac{m}{s^2}}{0.25\frac{m}{s^2}}$$ $$\Rightarrow m_1=\frac{{(4\frac{m}{s^2})}(1kg)}{\frac{1}{4}\frac{m}{s^2}}$$

Resultado:

$$m_1=16kg$$

2.- ¿Qué fuerza neta se necesita para imprimir en un automóvil de $$1400kg$$ una aceleración de $$6\frac{m}{s^2}$$?

Respuesta:

Datos:

$$m_1=1400kg$$

$$a_1= 6\frac{m}{s^2}$$

Fórmula:

$$F=ma$$

Sustitución:

$$F=(1400kg)(6\frac{m}{s^2})$$

Resultado:

$$F=8400\frac{(kg)(m)}{s^2}=8400N$$

3.- Una pelota de béisbol de $$0.16kg$$ es golpeada por un bat con una fuerza de 500N, ¿Cuál es la aceleración que experimenta la pelota como resultado del

golpe?

Datos:

$$m=0.16kg$$
$$F=500N$$

$$a=x$$

Fórmula:

$$F=ma\Rightarrow a=\frac{F}{m}$$

Sustitución:

$$a= \frac{500N}{0.16kg}$$ $$\Rightarrow a= \frac{500(kg)(\frac{m}{s^2})}{0.16kg}$$

Resultado:

De aquí simplificando las unidades de $$kg$$, obtenemos finalme

nte:

$$a=\frac{500\frac{m}{s^2}}{0.16}$$ $$\Rightarrow a=3125\frac{m}{s^2}$$

4.- Una fuerza neta de $$2000N$$ sobre un autobús hace que éste se acelere a $$0.5\frac{m}{s^2}$$. ¿Cuál es la masa del autobús?

Datos:

$$F=2000N$$

$$a=0.5\frac{m}{s^2}$$

Fórmula:

$$F=ma \Rightarrow m=\frac{F}{a}$$

Sustitución:

$$m=\frac{2000N}{0.5\frac{m}{s^2}} \Rightarrow \frac{2000kg\frac{m}{s^2}}{0.5\frac{m}{s^2}}$$

Resultado:

$$m=4000kg$$

5.- Una fuerza de $$300 N$$ se aplica a un cuerpo de $$100 kg$$ que se encuentra en reposo. Suponiendo que no hay fricción, determina la aceleración que experimenta el cuerpo.

Respuesta:

Datos:

$$F=300 N$$, $$m=100 kg$$ y $$a=x$$

Fórmula:

$$F=ma \Rightarrow a=\frac{F}{m}$$

Sustitución:

$$a=\frac{300N}{100kg} \Rightarrow a=\frac{300\frac{ (kg)(m)}{s^2}}{100 kg}$$

Resultado:

Simplificando las unidades de $$kg$$ y el cociente de $$\frac{300}{100}$$, obtenemos finalmente que:

$$a=3\frac{m}{s^2}$$

6.- Una caja cuya masa es de $$20 kg$$ se halla sobre una superficie horizontal sin fricción y sometida a la acción de fuerzas que se indican en la siguiente figura, cada fuerza tiene un valor de $$10 N$$ ¿Que aceleración experimenta la caja en cada caso?

Respuesta:

Para el primer caso de la figura, sabemos que $$F=ma \Rightarrow a=\frac{F}{m}$$ entonces,

$$a=\frac{10N}{20kg} \Rightarrow a=\frac{1}{2}\frac{m}{s^2}$$.

Para el segundo caso de la figura, $$a=\frac{\sum F_x}{m}$$, donde $$\sum F_x=10N+10N$$ con lo cual $$a=\frac{\sum F_x}{m} \Rightarrow a=\frac{20N}{20kg} \Rightarrow a=1\frac{m}{s^2}$$

Para el tercer caso es similar pues, $$a=\frac{\sum F_x}{m}$$, donde $$\sum F_x=10N+10N+10N$$

Con lo cual $$a=\frac{\sum F_x}{m} \Rightarrow a=\frac{30N}{20kg} \Rightarrow a=\frac{3}{2}\frac{m}{s^2}$$

Para el cuarto caso, $$ a=a_x=\frac{\sum F_x-f_k}{m}$$,

Donde $$f_k$$ es la fuerza de fricción y $$F_x=W_x=10 \cos(30^\circ)N$$

$$\Rightarrow a= \frac{10 \cos(30^\circ)N}{20kg}$$

$$\Rightarrow a= \frac{10\frac{\sqrt3}{2}N}{20kg}$$

$$ \Rightarrow a=\frac{\sqrt3}{4}\frac{m}{s^2}$$

Para el quinto caso, $$ a=a_x=\frac{\sum F_x-f_k}{m}$$,

Donde $$f_k$$ es la fuerza de fricción y $$F_x=W_x=10 \cos(45^\circ)N$$

$$\Rightarrow a= \frac{10 \cos(45^\circ)N}{20kg}$$

$$\Rightarrow a= \frac{10\frac{\sqrt2}{2}N}{20kg}$$

$$ \Rightarrow a=\frac{\sqrt2}{4}\frac{m}{s^2}$$

Para el sexto caso, $$ a=a_x=\frac{\sum F_x-f_k}{m}$$,

Donde $$f_k$$ es la fuerza de fricción y $$F_x=W_x=10 \cos(80^\circ)N$$

$$\Rightarrow a= \frac{10 \cos(80^\circ)N}{20kg}$$

$$\Rightarrow a= \frac{10 \cos(80^\circ)N}{20kg}$$

$$\Rightarrow a= \frac{1}{2} \frac{cos(80^\circ)}{kg}$$

$$\Rightarrow a= \frac{0.08 m}{s^2}$$

Para el séptimo caso, son dos fuerzas aplicadas iguales pero de sentido contrario por lo tanto,

$$a=0\frac{m}{s^2}$$

Para el octavo caso, son tres las fuerzas actuantes, dos se anulan por ser de opuestas, reduciéndose el problema en el caso 1, por lo cual $$a=\frac{1}{2}\frac{m}{s^2}$$

Para el último caso, este se reduce al quinto caso pues, dos fuerzas son iguales y opuestas con lo cual se anulan y la tercera fuerza forma un ángulo de 45 grados respecto a la horizontal. Por lo tanto:

$$ \Rightarrow a=\frac{\sqrt2}{4}\frac{m}{s^2}$$

prueba

$$\[\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac 2{\frac 1 a + \frac 1 b}\]$$

Matemática

Cada vez se hace más presente el uso de las nuevas tecnologías para la enseñanza-aprendizaje dentro y fuera del aula, es nuestro deber como futuros profesores saber dar un buen uso de estas tecnologías, pues con ellas podemos hacer un mejor trabajo docente.

Motivo por el cual debemos saber manejar y hacer un buen uso de estas tecnologías. Hoy en día existe gran variedad de programas que nos permiten resolver una gran variedad de problemas, de los cuales hacerlos a mano nos resultarían muy complicados.

Por ejemplo dentro de las Matemáticas es muy útil el uso de programas para resolver determinados problemas como de: derivadas, integrales, ecuaciones algebraicas, entre otros.

Un programa que puede ser de mucha utilidad no solo en matemáticas sino también en otras áreas de la ciencia como física, química, astronomía es wolfram alpha, aquí pueden resolver sus 500 ejercicios de derivadas o integrales que generalmente nos dejan los profes y no solamente da el resultado sino que además, pueden ver los pasos de la solución.

Como ejemplo pueden ver el siguiente problema haciendo clic aquí.

Ahora bien, a mi modo de ver, tenemos muchas herramientas e información que podemos tomar para nuestros planes de clase. Tal vez nuestro problema sea después elegir nuestro modo de trabajar con los estudiantes.

Existen todavía muchas más cosas que se pueden hacer con este programa, por lo cual solo escribo algunas cuantas. Pero la invitación esta abierta a toda persona que quiera investigar por si misma aunque sea por curiosidad, pues seguramente encontrará algo interesante.

Mecánica 5

1.- ¿A que propiedad de los cuerpos se deben las fuerzas eléctrica y magnética?

respuesta:

A la carga eléctrica o simplemente carga.

2.-¿Cuál es la unidad de carga eléctrica y como se define?

respuesta:

La unidad de carga eléctrica es el coulomb y se define como:

$$C=6.27X10^{18} $$ cargas elementales (e).

3.-¿Cuánto vale la carga eléctrica de las partículas elementales?

respuesta:

La carga eléctrica del neutrón vale cero por ser neutro,

la carga eléctrica del electrón es negativa de $$-1.6X10^{-19}$$ coulombs.

la carga eleléctrica del protón es positiva de $$1.672 621 637X10^{-19}$$coulombs.

4.- Enunciar la ley de Coulomb.

respuesta;

"La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas es con que interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa."

5.-¿Qué diferencias esenciales hay entre la fuerza eléctrica y la fuerza magnética?

respuesta:

En que la fuerza eléctrica se manifiesta entre las cargas en reposo y la magnética se manifiesta entre las cargas en movimiento. Además la fuerza eléctrica es directamente proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa y, el sentido de dicha fuerza depende del signo sus cargas. La fuerza magnética es directamente proporcional al producto de sus cargas y sus velocidades e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa y, el sentido de dicha fuerza depende del signo de las cargas y el sentido de las velocidades.

6.- Enunciar la ley de Ampere.

respuesta:

La fuerza magnética entre dos cargas móviles en trayectorias paralelas y cuando su distancia es mínima, es directamente proporcional al producto de las cargas y sus velocidades, e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia.

7.- Citar algunas manifestaciones de la fuerza electromagnética.

respuesta:

La fricción, la fuerza de cohesión, las fuerzas que actúan en los cuerpos elásticos, la fuerza de adherencia, es decir, todas las fuerzas intermoleculares.

8.-Indicar algunos fenómenos en los cuales la fricción es conveniente y otros en que la fricción es inconveniente.

respuesta:

Es conveniente cuando se tiene que frenar algún vehículo y cuando se quiere producir fuego utilizando a la fricción.

Es inconveniente cuando deseamos mover algún mueble pesado y la fricción nos lo impide.

9.- ¿Qué diferencia hay entre fricción estática y cinética?

La fricción estática trata cuando un cuerpo esta en reposo e intentamos moverlo sin conseguirlo, en cambio si el cuerpo se encuentra ya en movimiento, la fuerza de fricción por deslizamiento es llamada fricción cinética.

10.- Enunciar y explicar las leyes de la fricción.

respuesta:

Las leyes de la fricción son empíricas:

a) "La dirección de la fuerza de fricción es siempre opuesta al movimiento o al intento de producirlo"; esto es cuando un cuerpo está en reposo e intentamos moverlo sin conseguirlo (fricción estática), se opone al intento de producir movimiento. Ahora si el cuerpo está ya en movimiento, la fuerza de fricción (cinética) actúa en igual dirección, pero con sentido opuesto al movimiento de dicho cuerpo, es decir, a su velocidad.

b) "La magnitud de la fuerza de fricción es constante mientras dure el movimiento"; está segunda ley trata se refiere de su magnitud y nos dice en parte que si el cuerpo está en movimiento la fricción cinética es siempre constante, en cualquiera que sea su velocidad, ya sea grande o pequeña, por otra parte, cuando la fricción es estática, dicha fricción impide totalmente movimiento, por lo cual dicha fuerza de fricción es igual y opuesta a la fuerza aplicada, único modo de que la resultante de ambas fuerzas sean nulas y cumplan con la primera ley de Newton.

Mecánica 4

1.- ¿Qué se entiende por masa de un cuerpo, y con qué fuerza fundamental está relacionada?

respuesta:

Se entenderá como masa o masa gravitatoria a la masa acumulada de electrones, protones y neutrones, siendo además unidad fundamental que está relacionada con la fuerza nuclear.

2.- ¿Cuál es la unidad de masa y como se define?

respuesta:

La unidad de masa es el kilogramo y se define como la masa de un cilindro de platino iridiado, llamado kilogramo prototipo internacional, guardado en la oficina de pesas y medidas de S`evres, París, Francia.

3.- Encontrar la relación entre la masa del protón y la del neutrón.

respuesta:

La relación que existe entre la masa del protón y la del neutrón es que casi tienen la misma masa, esto es:

masa del protón=$$1.672X10^{-27}kg$$

masa del neutrón=$$1.674X10^{-27}kg$$

4.- Enunciar la ley de gravitación universal.

respuesta:

"La magnitud de la fuerza de atracción gravitatoria entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa."

5.- Encontrar la fuerza con que se atraen entre si dos personas de 60 y 80 kg de masa respectivamente, si la distancia entre ellas es de 10 m.

respuesta:

$$F=\frac{(6.67X10^{-11}\frac{m^{3}}{s^{2}})(60kg)(80kg)}{(10m)^{2}}$$

$$F= 3.2016X10^{-9}N$$

6.- Encontrar la fuerza gravitatoria entre un protón y un neutrón a la distancia de $$10^{-15}m$$.

respuesta:

datos:

$$m_1= 1.672X10^{-27}kg$$

$$m_2= 1.674X10^{-27}kg$$

$$r=10^{-15}m$$

$$G= 6.67X10^{-11}\frac{m^{3}}{s^{s}}$$

Ecuación:

$$F=G\frac{m_1m_2}{r^{2}}$$

Sustitución:

$$F= \frac{(6.67X10^{-11}\frac{m^{3}}{s^{s}})(1.672X10^{-27}kg)(1.674X10^{-27}kg)}{(10^{-15}m)^{2}}$$

$$F=1.86X10^{-34}N$$

7.- ¿A qué se debe el hecho de que la aceleración de la gravedad sea menor en la ciudad de México que en el puerto de Veracruz?

respuesta:

El hecho se debe a que en el puerto de Veracruz, se encuentra a nivel del mar que se tomo como referencia para medir la altitud, y la ciudad de México a una mayor altura. Ahora bien la gravedad de la tierra "jala" a los cuerpo al centro de ella, con lo cual, entre más cercanos se encuentren los cuerpos, tanto más es la aceleración de la gravedad, así mismo, entre más alejados se encuentren de la misma, menor sera la aceleración de la gravedad.

Dado que la ciudad de México se encuentra a mayor distancia con relación al puerto de Veracruz, la aceleración de la gravedad en la ciudad de México sera menor en relación al puerto de Veracruz.

8.- ¿Cuál es el peso en newtons, de una persona cuya masa es de 70 kg?

respuesta:

$$p=mg$$

$$p=(70kg)(9.8\frac{m}{s^{2}})$$

$$p=490N$$

9.-Explicar las diferencias esenciales entre masa y peso.

respuesta:

Las diferencias esenciales entre peso y masa es que el peso depende de la aceleración de la gravedad, mientras que la masa no, por ejemplo, el peso de una persona varia si se pesa en al tierra y en la luna, mientras que la masa se conserva, pues es evidente que es la misma.

10.- ¿Cuándo pesa y cuando no pesa un astronauta durante un viaje espacial?

respuesta.

El astronauta pesa cuando aún no despega la nave de la tierra y, cuando no despega y dentro de su nave salta, pues la aceleración de la gravedad lo vuelve a baja.
No pesa cuando una vez en vuelo libre, adentro de su nave, siendo atraído por la aceleración de la gravedad, pero a su vez, la nave es atraída por la misma fuerza, entonces al ser ambos atraídos con la misma aceleración, el astronauta nunca cae, produciéndose el fenómeno de ingravidez y con lo cual el astronauta tiene la sensación de no pesar.

Ahora bien si en vuelo libre el astronauta acelera hacia adelante o hacia atrás, ambas aceleraciones y la del astronauta no serian iguales entre sí,y, por tanto, el astronauta tendría la sensación de haber ganado peso.

11.-Una persona en un elevador observa que su peso se reduce a la mitad. ¿Está el elevador subiendo o bajando?

respuesta:

El elevador se encuentra bajando.

12.-Explicar porque se reduce la aceleración de la gravedad en un plano inclinado.

respuesta:

Suponiendo que tenemos un cuerpo que cae por un plano inclinado de tal manera que recorre sobre él una distancia l, al mismo tiempo que baja una altura h

mecánica 3

1.- Comparar las ideas de Aristóteles y de Galileo sobre las causas del movimiento.

respuesta:

En la primera idea del movimiento ambos coinciden pues argumentan que para iniciar un movimiento hace falta una fuerza.

En la segunda y tercera idea del movimiento ya no coinciden ya que Aristóteles argumentaba que para continuar un movimiento hace falta una fuerza, y que además, para terminar un movimiento no hace falta alguna fuerza. Esto así porque se creía que el estado natural de los cuerpos era el de reposo, con lo cual al aplicarle una fuerza a un cuerpo, se generaba el movimiento pero por ser su estado natural el de reposo, se tendría que aplicarle más fuerza para continuar el movimiento, pues en un determinado momento este cuerpo se detendría sin necesidad de aplicarle alguna otra fuerza.

Por su parte, Galileo argumentaba que para continuar un movimiento no hace falta alguna fuerza, y que además, para acabar un movimiento hace falta una fuerza. Esto así porque, Galileo opinaba que el estado natural de los cuerpos no era el de reposo, como se creía, si no el de movimiento rectilíneo y uniforme. Toda fuerza que se aplicaba a un cuerpo lo sacaba del estado de reposo y, una vez que la fuerza cesaba, dicho cuerpo volvía al estado de movimiento rectilíneo y uniforme, del cual el de reposo es un caso particular.

2.- ¿Cómo es posible un movimiento sin fuerzas?

respuesta:

Tal hecho no puede se posible, dado que lo como hemos estado mencionado, para iniciar un movimiento hace falta una fuerza (primera idea del movimiento), a menos claro, que anteriormente dicho cuerpo se encuentre en un estado diferente al de reposo y no exista fuerza que lo detenga, pero tal movimiento del cuerpo loo produjo alguna fuerza, con lo cual volvemos al hecho de que para iniciar un movimiento hace falta una fuerza. Así por tanto podemos decir que no es posible un movimiento sin fuerzas.

3.- Enunciar la primera ley de Newton.

respuesta:

"Todo cuerpo continúa en su estado de reposo o de movimiento uniforme y rectilíneo en tanto que no haya ninguna fuerza neta que actúe sobre de él."

4.- Citar varios ejemplos en donde interviene dicha ley.

respuesta:

a) El choque de un avión con una montaña.

b) El tirarle una canica a otra canica.

c) La caída de una persona al suelo.

5.- Si un patinador se encuentra sobre una pista de hielo sin ninguna fricción y recibe un

empujón, ¿qué le sucede?

respuesta:

Por la primera ley de Newton, deja su estado de reposo con lo cual, este es desplazado obteniendo movimiento.

6.- Enunciar la ley de la inercia para el movimiento de rotación.

respuesta:

"Toda torca aplicada a un cuerpo le produce una rotación acelerada".

7.- Enumerar varias fuerzas conocidas explicando su origen y su forma de actuar.

respuesta:

a) La fuerza de gravedad: originada por todo aquello que posea masa gravitatoria, por citar un

ejemplo el de la tierra, cuando atrae a otro cuerpo hacia ella misma.

b) La fuerza de la tensión superficial (de un líquido): originada por la cantidad de energía

necesaria para aumentar la superficie por unidad de área del líquido, como ejemplo particular

esto permite a algunos insectos poder pasar sobre el agua sin hundirse.

c) La fuerza de viscosidad(en los fluidos): está se da gracias a la oposición de los fluidos a

las deformaciones tangenciales, generalmente esta propiedad es utilizada para motores de

los vehículos.

d) La fuerza de cohesión: es la atracción entre las moléculas que mantiene unidas a las partículas de una sustancia, como por ejemplo, a la mezcla de alcohol con agua.

8.- ¿Cuáles son las tres fuerzas fundamentales de la naturaleza?

respuesta:

Las tres fuerzas fundamentales de la naturaleza son tres:

1.- La fuerza de gravitación.

2.- La fuerza electromagnética.

3.- La fuerza nuclear.

9.- ¿A qué propiedad de los cuerpos se debe la fuerza gravitatoria?
respuesta:

A la masa gravitatoria.

10.- ¿A qué propiedad de los cuerpos se deben las fuerzas eléctrica y magnética?

respuesta:
Se debe a la propiedad de los cuerpos que además de masa poseen carga eléctrica.

11.-¿Qué diferencia existe entre la fuerza eléctrica y magnética?

respuesta:

En que dependiendo de como se encuentre la carga eléctrica, ya sea en reposo o en movimiento sera llamada fuerza eléctrica o fuerza magnética .

12.-¿Entre qué partículas fundamentales se manifiestan las fuerzas nucleares?

respuesta:

Se manifiestan entre los protones y neutrones componentes del núcleo atómico.