Ecuación Logística

La ecuación logística $$x_{n+1}=rx_n(1-x_n)$$ presenta un punto fijo para $$r=2$$ y $$0\leq x_n\leq1$$

Como ejemplo podemos tomar $$r=2 \mbox{ y } x_0=0.09 \mbox{ para tener las siguientes iteraciones}$$

$$x_1=2(0.09)(1-0.09)=0.1638$$

$$x_2=2(0.1638)(1-1638)=0.27393912$$

$$x_3=2(0.27393912)(1-0.27393912)=0.397792957$$

$$x_4=2(0.397792957)(1-0.397792957)=0.47910744$$

$$x_5=2(0.47910744)(1-0.47910744)=0.499127001$$

$$x_6=2(0.499127001)(1-0.499127001)=0.499998475$$

$$x_6=2(0.499998475)(1-0.499998475)=0.5$$

Notemos que a partir de $$x_6$$ los demás $$x_i \mbox{ para i \geq 6}$$ tienen un valor de 0.5 que es el valor fijo después de iterar en varias veces.

Pues:

$$2(\frac{1}{2})(1-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}=0.5$$

Bogdan Mielnik

Clásico Método de Factorización.

El método de factorización en su forma más clásica, se utilizó por primera vez para determinar el espectro del hamiltoniano del oscilador armónico en una dimensión.

$$H=-\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{1}{2}x^2$$

El método consistía en la introducción de los operadores de la "creación" y "aniquilación"

$$a=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{d}{dx}+x)=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{-x^2}{2}}\frac{d}{dx}e^{\frac{x^2}{2}}$$

$$a^\ast=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\frac{d}{dx}+x)=-\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{x^2}{2}}\frac{d}{dx}e^{\frac{-x^2}{2}}$$

Con las siguientes propiedades:
$$\begin{array}{cl}a^*a=H-\frac{1}{2}\\ aa^*=H+\frac{1}{2}\end{array}\righ\ [a,a^*]=1$$

Efectuando el cálculo de $$a^*a$$ obtenemos lo siguiente:

$$a^*a= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\frac{d}{dx}+x)( \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{d}{dx}+x)$$

$$a^*a=-\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x\frac{d}{dx}+\frac{1}{2}x^2$$

$$a^*a=(H-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}x\frac{d}{dx}$$

donde $$\frac{1}{2}x\frac{d}{dx}$$ es un término el cuál no aparece en las propiedades dadas arriba, análogamente:

$$aa^*= ( \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{d}{dx}+x)\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\frac{d}{dx}+x)$$

$$aa^*=-\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x\frac{d}{dx}+\frac{1}{2}x^2$$

$$aa^*=(H+\frac{1}{2})-\frac{1}{2}x\frac{d}{dx}$$

donde $$-\frac{1}{2}x\frac{d}{dx}$$ es un término el cuál no aparece en las propiedades dadas arriba.

Y es aquí donde mis cuentas no me dieron lo mismo a lo escrito en el articulo de Bogdan Mielnik, seguramente sera por algo.

Ecuaciones en Blogger

Esto es lo que tiene escrito el java script, espero sea útil para escribir ecuaciones en blogger, la página aún no la encuentro.

Ejercicios de las leyes de Newton 1

Para resolver los problemas en adelante planteados, seguiremos la estrategia de solución que corresponde al de primeramente el de conocer los datos, después el de usar la fórmula correspondiente seguido de la sustitución de los datos en la fórmula correspondiente para finalizar con el resultado. Así pues empezaremos con los primeros ejercicios.

1.- Si un bloque de $$1kg$$ experimenta una aceleración de $$4\frac{m}{s^2}$$ cuando actúa sobre él una fuerza determinada, calcula la masa de un baúl que experimenta una aceleración de $$0.25\frac{m}{s^2}$$ cuando actúa sobre él la misma fuerza.

Solución:

Datos:

$$m_2=1kg$$

$$m_1=x$$

$$a_2=4\frac{m}{s^2}$$

$$1_1=0.25\frac{m}{s^2}$$

Fórmula:

$$\frac{m_1}{m_2}=\frac{a_2}{a_1}$$

Sustitución:

$$\frac{m_1}{1kg}=\frac{4\frac{m}{s^2}}{0.25\frac{m}{s^2}}$$ $$\Rightarrow m_1=\frac{{(4\frac{m}{s^2})}(1kg)}{\frac{1}{4}\frac{m}{s^2}}$$

Resultado:

$$m_1=16kg$$

2.- ¿Qué fuerza neta se necesita para imprimir en un automóvil de $$1400kg$$ una aceleración de $$6\frac{m}{s^2}$$ ?

Respuesta:

Datos:

$$m_1=1400kg$$

$$a_1= 6\frac{m}{s^2}$$

Fórmula:

$$F=ma$$

Sustitución:

$$F=(1400kg)(6\frac{m}{s^2})$$

Resultado:

$$F=8400\frac{(kg)(m)}{s^2}=8400N$$

3.- Una pelota de béisbol de $$0.16kg$$ es golpeada por un bat con una fuerza de 500N, ¿Cuál es la aceleración que experimenta la pelota como resultado del

golpe?

Datos:

$$m=0.16kg$$
$$F=500N$$

$$a=x$$

Fórmula:

$$F=ma\Rightarrow a=\frac{F}{m}$$

Sustitución:

$$a= \frac{500N}{0.16kg}$$ $$\Rightarrow a= \frac{500(kg)(\frac{m}{s^2})}{0.16kg}$$

Resultado:

De aquí simplificando las unidades de $$kg$$ , obtenemos finalme

nte:

$$a=\frac{500\frac{m}{s^2}}{0.16}$$ $$\Rightarrow a=3125\frac{m}{s^2}$$

4.- Una fuerza neta de $$2000N$$ sobre un autobús hace que éste se acelere a $$0.5\frac{m}{s^2}$$ . ¿Cuál es la masa del autobús?

Datos:

$$F=2000N$$

$$a=0.5\frac{m}{s^2}$$

Fórmula:

$$F=ma \Rightarrow m=\frac{F}{a}$$

Sustitución:

$$m=\frac{2000N}{0.5\frac{m}{s^2}} \Rightarrow \frac{2000kg\frac{m}{s^2}}{0.5\frac{m}{s^2}}$$

Resultado:

$$m=4000kg$$

5.- Una fuerza de $$300 N$$ se aplica a un cuerpo de $$100 kg$$ que se encuentra en reposo. Suponiendo que no hay fricción, determina la aceleración que experimenta el cuerpo.

Respuesta:

Datos:

$$F=300 N$$ , $$m=100 kg$$ y $$a=x$$

Fórmula:

$$F=ma \Rightarrow a=\frac{F}{m}$$

Sustitución:

$$a=\frac{300N}{100kg} \Rightarrow a=\frac{300\frac{ (kg)(m)}{s^2}}{100 kg}$$

Resultado:

Simplificando las unidades de $$kg$$ y el cociente de $$\frac{300}{100}$$ , obtenemos finalmente que:

$$a=3\frac{m}{s^2}$$

6.- Una caja cuya masa es de $$20 kg$$ se halla sobre una superficie horizontal sin fricción y sometida a la acción de fuerzas que se indican en la siguiente figura, cada fuerza tiene un valor de $$10 N$$ ¿Que aceleración experimenta la caja en cada caso?

Respuesta:

Para el primer caso de la figura, sabemos que $$F=ma \Rightarrow a=\frac{F}{m}$$ entonces,

$$a=\frac{10N}{20kg} \Rightarrow a=\frac{1}{2}\frac{m}{s^2}$$ .

Para el segundo caso de la figura, $$a=\frac{\sum F_x}{m}$$ , donde $$\sum F_x=10N+10N$$ con lo cual $$a=\frac{\sum F_x}{m} \Rightarrow a=\frac{20N}{20kg} \Rightarrow a=1\frac{m}{s^2}$$

Para el tercer caso es similar pues, $$a=\frac{\sum F_x}{m}$$ , donde $$\sum F_x=10N+10N+10N$$

Con lo cual $$a=\frac{\sum F_x}{m} \Rightarrow a=\frac{30N}{20kg} \Rightarrow a=\frac{3}{2}\frac{m}{s^2}$$

Para el cuarto caso, $$a=a_x=\frac{\sum F_x-f_k}{m}$$ ,

Donde $$f_k$$ es la fuerza de fricción y $$F_x=W_x=10 \cos(30^\circ)N$$

$$\Rightarrow a= \frac{10 \cos(30^\circ)N}{20kg}$$

$$\Rightarrow a= \frac{10\frac{\sqrt3}{2}N}{20kg}$$

$$\Rightarrow a=\frac{\sqrt3}{4}\frac{m}{s^2}$$

Para el quinto caso, $$a=a_x=\frac{\sum F_x-f_k}{m}$$ ,

Donde $$f_k$$ es la fuerza de fricción y $$F_x=W_x=10 \cos(45^\circ)N$$

$$\Rightarrow a= \frac{10 \cos(45^\circ)N}{20kg}$$

$$\Rightarrow a= \frac{10\frac{\sqrt2}{2}N}{20kg}$$

$$\Rightarrow a=\frac{\sqrt2}{4}\frac{m}{s^2}$$

Para el sexto caso, $$a=a_x=\frac{\sum F_x-f_k}{m}$$ ,

Donde $$f_k$$ es la fuerza de fricción y $$F_x=W_x=10 \cos(80^\circ)N$$

$$\Rightarrow a= \frac{10 \cos(80^\circ)N}{20kg}$$

$$\Rightarrow a= \frac{10 \cos(80^\circ)N}{20kg}$$

$$\Rightarrow a= \frac{1}{2} \frac{cos(80^\circ)}{kg}$$

$$\Rightarrow a= \frac{0.08 m}{s^2}$$

Para el séptimo caso, son dos fuerzas aplicadas iguales pero de sentido contrario por lo tanto,

$$a=0\frac{m}{s^2}$$

Para el octavo caso, son tres las fuerzas actuantes, dos se anulan por ser de opuestas, reduciéndose el problema en el caso 1, por lo cual $$a=\frac{1}{2}\frac{m}{s^2}$$

Para el último caso, este se reduce al quinto caso pues, dos fuerzas son iguales y opuestas con lo cual se anulan y la tercera fuerza forma un ángulo de 45 grados respecto a la horizontal. Por lo tanto:

$$\Rightarrow a=\frac{\sqrt2}{4}\frac{m}{s^2}$$

prueba

$$\[\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac 2{\frac 1 a + \frac 1 b}\]$$

Matemática

Cada vez se hace más presente el uso de las nuevas tecnologías para la enseñanza-aprendizaje dentro y fuera del aula, es nuestro deber como futuros profesores saber dar un buen uso de estas tecnologías, pues con ellas podemos hacer un mejor trabajo docente.

Motivo por el cual debemos saber manejar y hacer un buen uso de estas tecnologías. Hoy en día existe gran variedad de programas que nos permiten resolver una gran variedad de problemas, de los cuales hacerlos a mano nos resultarían muy complicados.

Por ejemplo dentro de las Matemáticas es muy útil el uso de programas para resolver determinados problemas como de: derivadas, integrales, ecuaciones algebraicas, entre otros.

Un programa que puede ser de mucha utilidad no solo en matemáticas sino también en otras áreas de la ciencia como física, química, astronomía es wolfram alpha, aquí pueden resolver sus 500 ejercicios de derivadas o integrales que generalmente nos dejan los profes y no solamente da el resultado sino que además, pueden ver los pasos de la solución.

Como ejemplo pueden ver el siguiente problema haciendo clic aquí.

Ahora bien, a mi modo de ver, tenemos muchas herramientas e información que podemos tomar para nuestros planes de clase. Tal vez nuestro problema sea después elegir nuestro modo de trabajar con los estudiantes.

Existen todavía muchas más cosas que se pueden hacer con este programa, por lo cual solo escribo algunas cuantas. Pero la invitación esta abierta a toda persona que quiera investigar por si misma aunque sea por curiosidad, pues seguramente encontrará algo interesante.

Mecánica 5

1.- ¿A que propiedad de los cuerpos se deben las fuerzas eléctrica y magnética?

respuesta:

A la carga eléctrica o simplemente carga.

2.-¿Cuál es la unidad de carga eléctrica y como se define?

respuesta:

La unidad de carga eléctrica es el coulomb y se define como:

$$C=6.27X10^{18}$$ cargas elementales (e).

3.-¿Cuánto vale la carga eléctrica de las partículas elementales?

respuesta:

La carga eléctrica del neutrón vale cero por ser neutro,

la carga eléctrica del electrón es negativa de $$-1.6X10^{-19}$$ coulombs.

la carga eleléctrica del protón es positiva de $$1.672 621 637X10^{-19}$$ coulombs.

4.- Enunciar la ley de Coulomb.

respuesta;

"La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas es con que interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa."

5.-¿Qué diferencias esenciales hay entre la fuerza eléctrica y la fuerza magnética?

respuesta:

En que la fuerza eléctrica se manifiesta entre las cargas en reposo y la magnética se manifiesta entre las cargas en movimiento. Además la fuerza eléctrica es directamente proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa y, el sentido de dicha fuerza depende del signo sus cargas. La fuerza magnética es directamente proporcional al producto de sus cargas y sus velocidades e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa y, el sentido de dicha fuerza depende del signo de las cargas y el sentido de las velocidades.

6.- Enunciar la ley de Ampere.

respuesta:

La fuerza magnética entre dos cargas móviles en trayectorias paralelas y cuando su distancia es mínima, es directamente proporcional al producto de las cargas y sus velocidades, e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia.

7.- Citar algunas manifestaciones de la fuerza electromagnética.

respuesta:

La fricción, la fuerza de cohesión, las fuerzas que actúan en los cuerpos elásticos, la fuerza de adherencia, es decir, todas las fuerzas intermoleculares.

8.-Indicar algunos fenómenos en los cuales la fricción es conveniente y otros en que la fricción es inconveniente.

respuesta:

Es conveniente cuando se tiene que frenar algún vehículo y cuando se quiere producir fuego utilizando a la fricción.

Es inconveniente cuando deseamos mover algún mueble pesado y la fricción nos lo impide.

9.- ¿Qué diferencia hay entre fricción estática y cinética?

La fricción estática trata cuando un cuerpo esta en reposo e intentamos moverlo sin conseguirlo, en cambio si el cuerpo se encuentra ya en movimiento, la fuerza de fricción por deslizamiento es llamada fricción cinética.

10.- Enunciar y explicar las leyes de la fricción.

respuesta:

Las leyes de la fricción son empíricas:

a) "La dirección de la fuerza de fricción es siempre opuesta al movimiento o al intento de producirlo"; esto es cuando un cuerpo está en reposo e intentamos moverlo sin conseguirlo (fricción estática), se opone al intento de producir movimiento. Ahora si el cuerpo está ya en movimiento, la fuerza de fricción (cinética) actúa en igual dirección, pero con sentido opuesto al movimiento de dicho cuerpo, es decir, a su velocidad.

b) "La magnitud de la fuerza de fricción es constante mientras dure el movimiento"; está segunda ley trata se refiere de su magnitud y nos dice en parte que si el cuerpo está en movimiento la fricción cinética es siempre constante, en cualquiera que sea su velocidad, ya sea grande o pequeña, por otra parte, cuando la fricción es estática, dicha fricción impide totalmente movimiento, por lo cual dicha fuerza de fricción es igual y opuesta a la fuerza aplicada, único modo de que la resultante de ambas fuerzas sean nulas y cumplan con la primera ley de Newton.